Question

20．函数f（x）=ln$\frac{x（{e}^{x}-{e}^{-x}）}{2}$，则f（x）是（　　）

• A． 奇函数，且在（0，+∞）上单调递减
• B． 奇函数，且在（0，+∞）上单凋递增
• C． 偶函数，且在（0，+∞）上单调递减
• D． 偶函数，且在（0，+∞）上单凋递增

Answer 1

分析 根据函数的奇偶性的定义以及复合函数的单调性判断即可．

解答 解：由x（e^x-e^-x）＞0，得f（x）的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞），
而f（-x）=ln$\frac{-x{（e}^{-x}{-e}^{x}）}{2}$=ln$\frac{x{（e}^{x}{-e}^{-x}）}{2}$=f（x），
∴f（x）是偶函数，
x＞0时，y=x（e^x-e^-x）递增，
故f（x）在（0，+∞）递增，
故选：D．

点评 本题考查了函数的奇偶性以及函数的单调性问题，是一道中档题．