Question

已知60⁰的二面角α-l-β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AC=BD=DC=1则AB与β面所成角的正弦值为

6

4

．

Answer 1

分析：由题设知

AB

2=（

AD

+

DC

+

CB

）²=2，故AB=|

AB

|=

2

．过点A作AE⊥β，交β于点E，连接DE，BE，则∠ABE就是AB与β面所成角．由此能求出AB与β面所成角的正弦值．

解答：解：∵60⁰的二面角α-l-β中，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，
AC=BD=DC=1，
∴

AB

2=（

AD

+

DC

+

CB

）²
=

AD

2+

DC

2+

CB

2+2

AD

•

DC

+2

AD

•

CB

+2

DC

•

CB

=1+1+1+2×1×1×(-

1

2

)=2，
∴AB=|

AB

|=

2

．
过点A作AE⊥β，交β于点E，连接DE，BE，
则∠ABE就是AB与β面所成角．
∵AD⊥l，l?β，∴DE⊥l，∴∠ADE=60°，
∴AE=AD•sin60°=

3

2

，
∴sin∠ABE=

AE

AB

=

3 2

2

=

6

4

．
故答案为：

6

4

．

点评：本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，具本涉及到向量知识、三垂线定理、二面角等基本知识点，解题时要注意空间思维能力的培养．