Question

已知O为△ABC所在平面外一点，且=a，=b,=c，OA，OB，OC两两互相垂直，H为△ABC的垂心，试用a，b，c表示．

Answer 1

解：由，连AH并延长交BC于M．

则由H为△ABC的垂心．∴AM⊥BC．

于是BC⊥平面OAHOH⊥BC．

同理可证：

又是空间中三个不共面的向量，由向量基本定理知，存在三个实数k₁,k₂,k₃使得＝k₁a＋k₂b＋k₃c．

由=0且a·b=a·c=0k₂b²=k₃c²，同理k₁a²=k₂b².

∴k₁a²=k₂b²=k₃c²=m≠0.①又AH⊥OH，

∴

（k₁-1）a+k₂b+k₃c(k₁a+k₂b+k₃c)=0k₁(k₁-1)a²+k₂²b²+k₃²c²=0②?

联立①及②，得

1③

又由①，得k₁=,k₂=,k₃=,代入③得

m=,?

其中Δ＝a²·b²+b²·c²+c²·a²,于是=(b²·c²·a+c²·a²·b+a²·b²·c).