Question

在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点（-，0），（，0）的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C，直线l过点E（-1，0）且与曲线C交于A，B两点．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）若AB中点横坐标为-，求直线AB的方程；
（3）是否存在△AOB面积的最大值，若存在，求出△AOB的面积；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以（-，0），（，0）为焦点，长半轴长为2的椭圆，从而可得曲线C的方程；
（2）利用点差法，求出直线的斜率，即可得到直线的方程；
（3）直线方程代入椭圆方程，求出A，B的纵坐标，利用S_△AOB=，可得面积，利用换元法，结合函数的单调性，即可得到结论．
解答：解：（1）由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以（-，0），（，0）为焦点，长半轴长为2的椭圆．
故曲线C的方程为．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点横坐标为y，则，
两方程相减可得
∵直线l过点E（-1，0）且与曲线C交于A，B两点，AB中点横坐标为-，
∴
∴
∴
∴直线AB的斜率为k=
∴直线AB的方程为y=（x+1）；
（3）存在△AOB面积的最大值．
因为直线l过点E（-1，0），可设直线l的方程为x=my-1．
代入椭圆方程整理得（m²+4）y²-2my-3=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），解得y₁=，．
则|y₂-y₁|=．
∴S_△AOB==
设t=（t），则g（t）=
∵y=在区间[，+∞）上为增函数．
∴．
∴，当且仅当m=0时取等号，
∴S_△AOB的最大值为．
点评：本题考查直线与椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生计算能力，属于中档题．