Question

设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，．则椭圆C的离心率为________．

Answer 1

分析：设椭圆的左准线为l，设A、B两点在l上的射影分别为C、D，连接AC、BD，过点B作BG⊥AC利用圆锥曲线的统一定义，再结合直角△ABG中，∠BAG=60°，可求出边之间的长度之比，可得离心率的值．
解答：解：如图，设设椭圆的左准线为l，过A点作AC⊥l于C，
过点B作BD⊥l于D，再过B点作BG⊥AC于G，
直角△ABG中，∠BAG=60°，所以AB=2AG，…①
由圆锥曲线统一定义得：，
∵
∴AC=2BD
直角梯形ABDC中，AG=AC-BD=…②
①、②比较，可得AB=AC，
又∵
∴
所求的离心率为 ．
故答案为：．
点评：本题考查椭圆的性质标和准方程，以及直线和圆锥曲线的位置关系．本题运用圆锥曲线的统一定义，结合解含有60°的直角三角形，求椭圆的离心率，属于几何方法，