Question

有幂函数若干个，每个函数至少具有下面三条性质之一：

(1)是奇函数；

(2)是(－∞，＋∞)内的增函数；

(3)函数的图象经过原点．

又已知同时具有性质(1)的共有15个，具有性质(2)的共有12个，具有性质(3)的共有18个，试问，这些幂函数共有几个?其中幂指数小于零的有几个?

Answer 1

答案：略
解析：

由幂函数的性质知，在(－∞，＋∞)内的增函数一定是奇函数，且图象一定过原点． 又若一个函数是奇函数，且其图象又经过原点，则这个函数一定是在(－∞，＋∞)上的增函数． 设这些幂函数中分别具备性质(1)、(2)、(3)的函数分别构成集合A、B、C而幂指数小于零的构成集合D，依题意得card(A)=15，card(B)=12，card(C)=18．又BA，BC，A∩CB，BA∩C，∴A∩C=B． 则card(A∪B∪C)=card(A∪C)=card(A)＋card(C)－card(A∩C)=card(A)＋card(C)－card(B)=15＋18－12=21． 即共有幂函数21个． 又幂指数小于零的幂函数图象一定不经过原点，反之亦然，故其中幂指数小于零的函数有21－18=3个． 要注意掌握幂函数的性质与α的不同取值而对应，本题中A∩C的道理一定要体会清楚，幂函数中有些函数具备这三个性质中1个，有的具备2个甚至三个，这与α的取值范围有关，因此一定要利用图象的位置、形状掌握这些性质．