Question

已知抛物线y=x²+（2k+1）x-k²+k，
（1）求证：此抛物线与x轴总有两个不同的交点．
（2）设x₁、x₂是此抛物线与x轴两个交点的横坐标，且满足x₁²+x₂²=-2k²+2k+1．求抛物线的解析式．

Answer 1

解：（1）证明：△=（2k+1）²-4（-k²+k）=4k²+4k+1+4k²-4k=8k²+1．
∵8k²+1＞0，即△＞0，
∴抛物线与x轴总有两个不同的交点．
（2）由题意得x₁+x₂=-（2k+1），x₁•x₂=-k²+k．
∵x₁²+x₂²=-2k²+2k+1，∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=-2k²+2k+1，
即（2k+1）²-2（-k²+k）=-2k²+k+1，4k²+4k+1+2k²-2k=-2k²+2k+1．
∴8k²=0，∴k=0，
∴抛物线的解析式是y=x²+x．
分析：（1）求得二次函数的判别式△=8k²+1大于零，可得抛物线与x轴总有两个不同的交点．
（2）利用韦达定理化简x₁²+x₂² ，再根据它等于-2k²+2k+1，求得8k²=0，即k=0，从而求得抛物线的解析式．
点评：本题主要考查二次函数的性质，求函数的解析式，属于基础题．