Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=2n²-3n,数列{b_n}是正项等比数列，满足a₁=-b₁, b₃(a₂-a₁)=b₁.

（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；

（2）记c_n=a_n·b_n,是否存在正整数M,使得对一切n∈N^*,c_n≤M恒成立，若存在，请求出M的最小值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

(1)解：数列{a_n}的前n项和S_n=2n²-3n，

∴a_n=S_n-S_n-1=4n-5(n∈N^*,n≥2).

又∵a_n=S₁=-1，

∴数列{a_n}的通项公式为a_n=4n-5(n∈N^*).

∵数列{b_n}是正项等比数列，

b₁=-a₁=1,a₂-a₁=4,∴b₃=,

公比q=，

数列{b_n}的通项公式为b_n=(n∈N^*).

（2）解法一：c_n=a_n·b_n=，

由c_n+1-c_n==≥0,得n≤2.

∴c₃＞c₂＞c₁.

当n≥3时,c_n+1＜c_n,即c₃＞c₄＞c₅＞…，

又∵c₃=,

故存在正整数M，使得对一切n∈N^*,c_n≤M恒成立,M的最小值为2.

解法二：c_n=a_n·b_n=，

令f(x)=,f′(x)=4·()^x-1+(4x-5)·()^x-1·ln，

由f′(x)＞0得x＜+≈2.69，

函数f(x)在(-∞,+)上单调递增;在(+,+∞)上单调递减.

对于n∈N^*,c₂=f(2)=,c₃=f(3)=,

∴c₂＜c₃,即数列{c_n}的最大项是c₃.

故存在正整数M，使得对一切n∈N^*,c_n≤M恒成立，M的最小值为2.