Question

已知椭圆的左，右两个顶点分别为A、B，曲线C是以A、B两点为顶点，焦距为的双曲线。设点P在第一象限且在曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T。
（1）求曲线C的方程；
（2）设P、T两点的横坐标分别为x₁、x₂，求证x₁·x₂为一定值；
（3）设△TAB与△POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S₁与S₂，且，求S₁²-
S₂²的取值范围。

Answer 1

解：（1）依题意可得A(-1，0)，B(1，0)
双曲线的焦距为，∴c=，
∴b²=c²-a²=5-1=4
∴双曲线C的方程为
（2）证明：设点P（x₁，y₁）、T（x₂，y₂）（x_i＞0，i=1,2），直线AP的斜率为k（k＞0），则直线AP的方程为y=k（x+1）
联立方程组 整理，得
解得x=-1或∴
同理方程组可得：
∴x₁·x₂=1为一定值
（3）设点P（x₁，y₁）、T（x₂，y₂）（x_i＞0，i=1,2），
则，．
∵≤15，∴，即
∵点P在双曲线上，则，所以，即
又∵点P是双曲线在第一象限内的一点，所以
∵，
∴
由（2）知，，即，设，则，
∴，
∵在上单调递减，在上单调递增、
∴当t=4，即时，
当t=2，即时，
∴的取值范围为