Question

(1)方程2x³－6x²＋3＝0有几个解？如果有解，全部解的和为多少？

(2)探究方程2x³－6x²＋5＝0，2x³－6x²＋8＝0的全部解的和，你由此能得出什么结论？

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)设函数f(x)＝2x³－6x²＋3．

　　因为f(－1)＝－5＜0，f(0)＝3＞0，f(1)＝－1＜0，f(2)＝－5＜0，f(3)＝3＞0，

　　且函数f(x)＝2x³－6x²＋3的图象是连续的曲线，

　　所以方程2x³－6x²＋3＝0有三个实数解．

　　因为f(－1)f(0)＜0，所以方程2x³－6x²＋3＝0的一个根x₀在区间(－1，0)内．

　　取区间(－1，0)的中点x₁＝－0.5，用计算器可得f(－0.5)＝1.25＞0．

　　因为f(－1)f(－0.5)＜0，x₀∈(－1，－0.5)．

　　再取区间(－1，－0.5)的中点x₂＝－0.75，用计算器可得f(－0.75)＜0．

　　因为f(－0.5)f(－0.75)＜0，x₀∈(－0.75，－0.5)．

　　同理，x₀∈(－0.75，－0.625)，x₀∈(－0.687 5，－0.625)，x₀∈(－0.652 5，－0.625)，x₀∈(－0.652 5，－0.640 625)，x₀∈(－0.648 427 5，－0.640 625)，x₀∈(－0.644 531 25，－0.640 625)．

　　由于|(－0.640 625)－(－0.644 531 25)|＜0.001，此时区间(－0.644 531 25，－0.640 625)的两个端点值精确到0.001的近似值都是－0.64，

　　所以方程2x³－6x²＋3＝0的一个根为－0.64．

　　同理可得方程2x³－6x²＋3＝0的另外两根分别为0.83和2.81．

　　所以方程2x³－6x²＋3＝0的三个解的和为－0.64＋0.83＋2.81＝3．

　　(2)利用同样的方法可求得方程2x³－6x²＋5＝0，2x³－6x²＋8＝0的全部解的和也为3．

　　结论：一般地对于一元三次方程ax³＋bx²＋cx＋d＝0有三个根x₁，x₂，x₃，则x₁＋x₂＋x₃＝．

提示：

利用二分法求出方程的根，再求和从而得出结论．