Question

已知

a

=（1，2），

b

=（1，-1）
（1）若θ为2

a

+

b

与

a

-

b

的夹角，求θ的值；
（2）若2

a

+

b

与k

a

-

b

垂直，求k的值．

Answer 1

分析：（1）根据向量线性运算的坐标表示，分别得出2

a

+

b

和

a

-

b

的坐标，利用数量积的运算性质算出（2

a

+

b

）（

a

-

b

）的值和2

a

+

b

、

a

-

b

的模，结合向量的夹角公式即可算出2

a

+

b

与

a

-

b

的夹角θ的值；
（2）根据向量

a

=（1，2），

b

=（1，-1）算出2

a

+

b

和k

a

-

b

的坐标，利用向量垂直的充要条件建立关于k的关系式，解之即可得到实数k的值．

解答：解：（1）∵

a

=（1，2）

b

=（1，-1）
∴2

a

+

b

=（3，3），

a

-

b

=（0，3）
由此可得（2

a

+

b

）（

a

-

b

）=3×0+3×3=9
∴cosθ=

(2 a + b )( a - b )

|2 a + b |•| a - b |

=

9

32+32 • 02+32

=

2

2

∵θ∈[0，π]，∴θ=

π

4

；
（2）∵

a

=（1，2）

b

=（1，-1）
∴2

a

+

b

=（3，3），k

a

-

b

=（k-1，2k+1）
∵向量2

a

+

b

与k

a

-

b

垂直，
∴3（k-1）+3（2k+1）=0，解之得k=0

点评：本题给出向量

a

、

b

的坐标，求它们的两个线性组合向量的夹角，并探索向量垂直的问题，着重考查了平面向量数量积的运算性质和向量垂直的充要条件等知识，属于基础题．