Question

函数．
（1）求f（x）的值域；
（2）求f（x）在[0，π）上的单调递减区间．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据三角函数的诱导公式与辅助角公式，化简可得f（x）=sin（+），再由x∈R，-1≤sin（+）≤1，可得函数f（x）的值域为[-，]；
（2）先根据函数y=sinx的单调区间的结论，求得f（x）的单调递减区间是[+4kπ，+4kπ]，（k为整数），取k=0得到一个区间，将它与[0，π）取交集可得[，π），即得f（x）在[0，π）上的单调递减区间．
解答：解：（1）∵，
∴f（x）=cos+sin=（sincos+cossin）=sin（+）
∵x∈R，∴-1≤sin（+）≤1，sin（+）∈[-，]
即函数f（x）的值域为[-，]；
（2）由f（x）=sin（+），令+2kπ≤+≤+2kπ，（k为整数）
解之得+4kπ≤x≤+4kπ，所以f（x）的单调递减区间是[+4kπ，+4kπ]，（k为整数）．
取k=0，得[，]，与[0，π）取交集可得[，π）
∴f（x）在[0，π）上的单调递减区间为[，π）．
点评：本题借助于一个特殊的三角函数，通过求函数的值域与单调区间，考查了正弦函数的单调性、三角函数的化简与求值等知识点，属于基础题．