Question

当x∈（0，π）时，函数f（x）=

1+cos2x+sin2x

sinx

的最小值是（　　）

• A．2

  2

• B．2

  3

• C．2
• D．1

Answer 1

分析：运用倍角公式把给出的函数的分子化为正弦的形式，整理得到f(x)=

2

sinx

-sinx，然后利用换元法把函数变为为y=

2

t

-t （t∈（0，1]）．求导后得到该函数的单调性，则函数在单调区间（0，1]上的最小值可求．

解答：解：f(x)=

1+cos2x+sin2x

sinx

=

1+1-2sin2x+sin2x

sinx

=

2-sin2x

sinx

=

2

sinx

-sinx
令sinx=t，∵x∈（0，π），∴t∈（0，1]．
则函数化为y=

2

t

-t （t∈（0，1]）．判断知，此函数在（0，1]上是个减函数．
（也可用导数这样判断∵y′=(

2

t

-t)′=-

2

t2

-1=

-2-t2

t2

＜0．∴为y=

2

t

-t （t∈（0，1]）为减函数．）
∴y_min=2-1=1．
∴当x∈（0，π）时，函数f（x）=

1+cos2x+sin2x

sinx

的最小值是1．
故选D．

点评：本题考查了二倍角的余弦公式，考查了利用换元法求三角函数的最小值，训练了利用函数的导函数判断函数的单调性，此题是中档题．