Question

在经济学中，函数f（x）的边际函数Mf（x）定义为Mf（x）=f（x+1）-f（x），某公司每月生产x台某种产品的收入为R（x）元，成本为C（x）元，且R（x）=3000x-20x²，C（x）=600x+4000（x∈N^*），现已知该公司每月生产该产品不超过100台，（利润=收入-成本），则利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差为

 

元．

Answer 1

分析：本题是信息型应用题，解决的关键是MP（x）表达式的确定及其在实际问题中的作用的理解．

解答：解：设利润函数为P（x），边际利润函数为MP（x）．
则P（x）=R（x）-C（x）
=3000x-20x²-（600x+4000）=-20x²+2400x-4000（x∈[1，100]，x∈N）．
MP（x）=P（x+1）-P（x）
=-20（x+1）²+2400（x+1）-4000-（-20x²+2400x-4000）
=2380-40x（x∈[1，100]，x∈N）．
P（x）=-20（x-60）²+68000，
当x=60时，P（x）_max=68000（元）．
∵MP（x）=2380-40x是减函数，∴当x=1时MP（x）_max=2340（元）．
故利润函数P（x）与边际利润函数MP（x）的最大值之差为68000-2340=65660．
故答案为：65660．

点评：本题考查了函数模型的选择及应用，考查了简单的数学建模思想方法，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题．