Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+3，数列{b_n}中，b₁=1，且点（b_n+1，b_n）在直线y=x-1上．
（Ⅰ） 求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）若c_n=a_n+3，求数列{b_nc_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a_n+1=2a_n+3得a_n+1+3=2（a_n+3），由此能求出a_n．
（Ⅱ）因为（b_n+1，b_n）在直线y=x-1上，所以b_n=b_n+1-1即b_n+1-b_n=1，由此能求出b_n．
（Ⅲ）由c_n=a_n+3=2ⁿ⁺¹-3+3=2ⁿ⁺¹，知b_nc_n=n•2ⁿ⁺¹，所以S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，再由错位相减法能求出S_n．

解答：解：（Ⅰ）由a_n+1=2a_n+3得a_n+1+3=2（a_n+3）
所以{a_n+3}是首项为a₁+3=4，公比为2的等比数列．
所以a_n+3=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，故a_n=2ⁿ⁺¹-3
（Ⅱ）因为（b_n+1，b_n）在直线y=x-1上，
所以b_n=b_n+1-1即b_n+1-b_n=1又b₁=1
故数列{b_n}是首项为1，公差为1的等差数列，
所以b_n=n
（Ⅲ）c_n=a_n+3=2ⁿ⁺¹-3+3=2ⁿ⁺¹故b_nc_n=n•2ⁿ⁺¹
所以S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹
故2S_n=1×2³+2×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²
相减得-Sn=22+23+24+…+2n+1-n•2n+2=

4(2n-1)

2-1

-n•2n+2=(1-n)2n+2-4
所以S_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4

点评：本题考查数列的通项公式的计算和前n项和公式的求法，综合性强，难度大，容易出错．解题时要认真审题，注意错位相减法的灵活运用．