Question

已知函数．
（Ⅰ）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；
（Ⅲ）设函数，若在[1，e]上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求实数p的取值范围．

Answer 1

解：（I）当p=2时，函数，f（1）=2﹣2﹣2ln1=0.
，
曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）=2+2﹣2=2．
从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=2（x﹣1）即y=2x﹣2．
（II）．
令h（x）=px²﹣2x+p，要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，
只需h（x）≥0在（0，+∞）内恒成立．
由题意p＞0，h（x）=px²﹣2x+p的图象为开口向上的抛物线，
对称轴方程为，
∴，只需，
即p≥1时，h（x）≥0，f'（x）≥0
∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，正实数p的取值范围是[1，+∞）．
（III）∵在[1，e]上是减函数，
∴x=e时，g（x）_min=2；
x=1时，g（x）_max=2e，即g（x）∈[2，2e]，
当p＜0时，h（x）=px²﹣2x+p，其图象为开口向下的抛物线，
对称轴在y轴的左侧，且h（0）＜0，
所以f（x）在x∈[1，e]内是减函数．
当p=0时，h（x）=﹣2x，因为x∈[1，e]，所以h（x）＜0，，
此时，f（x）在x∈[1，e]内是减函数．
∴当p≤0时，f（x）在[1，e]上单调递减f（x）_max=f（1）=0＜2，不合题意；
当0＜p＜1时，由，所以．
又由（Ⅱ）知当p=1时，f（x）在[1，e]上是增函数，∴，不合题意；
当p≥1时，由（Ⅱ）知f（x）在[1，e]上是增函数，f（1）=0＜2，
又g（x）在[1，e]上是减函数，故只需f（x）_max＞g（x）_min，x∈[1，e]，
而，
g（x）_min=2，即，
解得，实数p的取值范围是．