Question

已知函数f（x）=x²+ax+2b的一个零点在（0，1）内，另一个零点在（1，2）内，求：
（1）

b-2

a-1

的值域；
（2）（a-1）²+（b-2）²的值域．

Answer 1

分析：由题意知

f(0)＞0  f(1)＜0 f(2)＞0

，化简得约束条件，再利用数形结合的方法求解．
（1）表达式

b-2

a-1

表示过（a，b）和（1，2）的直线的斜率；
（2）表达式（a-1）²+（b-2）²表示（a，b）和（1，2）距离的平方．

解答：解：由题意知

f(0)＞0  f(1)＜0 f(2)＞0

，则其约束条件为：

b＞0  1+a+2b＜0 2+a+b＞0

∴其可行域是由A（-3，1）、B（-2，0）、C（-1，0）构成的三角形．
∴（a，b）活动区域是三角形ABC中，
（1）令k=

b-2

a-1

，则表达式

b-2

a-1

表示过（a，b）和（1，2）的直线的斜率，
∴斜率k_max=

2-0

1+1

=1，k_min=

2-1

1+3

=

1

4

故

b-2

a-1

的值域为：（

1

4

，1）；
（2）令p=（a-1）²+（b-2）²
则表达式（a-1）²+（b-2）²表示（a，b）和（1，2）距离的平方，
∴距离的平方p_max=（-3-1）²+（1-2）²=17，p_min=（

|1+4+1|

1+4

）2=

36

5

∴（a-1）²+（b-2）²的值域为：（

36

5

，17）．

点评：本题考查的知识点是一元二次方程根的分布与系数的关系，其中根据方程的根与对应零点之间的关系，得到关于a，b的约束条件是解答本题的关键．如果从单纯的代数角度解决本题，难度很大，若能根据表达式的形式或代表的意义联想到其对应的几何图形，则解决问题就可以取得事半功倍的效果．