Question

（Ⅰ）已知矩阵，矩阵B=，直线l₁：x-y+4=0经矩阵A所对应的变换得直线l₂，直线l₂又经矩阵B所对应的变换得到直线l₃：x+y+4=0，求直线l₂的方程．
（Ⅱ）求直线被曲线截得的弦长．

Answer 1

【答案】分析：对于（Ⅰ）因为直线l₁经矩阵A所对应的变换得直线l₂，直线l₂又经矩阵B的变换得到直线l₃．故直线l₁经矩阵AB所对应的变换可直接得到直线l₃，故可求出矩阵AB，即求出参量a，b．然后根据矩阵变换求得直线l₂的方程即可．
对于（Ⅱ）求直线被曲线所截得的弦长，因为直线和曲线都是参数方程，需要消去参数把它们都化成标准方程，然后根据点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，在根据三角形的勾股定理求得弦长即可．
解答：（Ⅰ）解：根据题意可得：直线l₁经矩阵AB所对应的变换可直接得到直线l₃
：，得l₁变换到l₃的变换公式，
则得到直线2ax+by+4=0  即直线l₁：x-y+4=0，
则有，b=-1．
此时，同理可得l₂的方程为2y-x+4=0
故答案为：x-2y-4=0．
（Ⅱ）解：直线的普通方程为x+y+1=0，
曲线即圆心为（1，-1）半径为4的圆．
则圆心（1，-1）到直线x+y+1=0的距离d=
设直线被曲线截得的弦长为t，则t=2，
∴直线被曲线截得的弦长为．
点评：此题主要考查了矩阵变换和直线及圆的参数方程的化简，题中涉及到点到直线公式和勾股定理的应用，属于综合性试题．