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    （2008•南汇区二模）数列{an}各项均为正数，Sn为其前n项的和．对于n∈N*，总有an，Sn，an2成等差数列．
    （1）求数列{an}的通项an；
    （2）设数列{
    1
    an
    }    的前n项和为Tn，数列{Tn}的前n项和为Rn，求证：当n≥2，n∈N时，Rn-1=n（Tn-1）；
    （3）若函数f(x)=
    1
    (p-1)•3qx+1
    的定义域为Rn，并且
    lim
    n→∞
    f(an)=0(n∈N*)    ，求证p+q＞1．
    分析：（1）主要利用等差中项得出Sn与an的关系式，在利用 an =
    S1            n=1
    Sn-Sn-1    n≥2
    可求出an．
    （2）就是要用数学归纳法证明，先验证：n=2时等式成立，再假设 n=k时等式成立，推n=k+1时成立，其中有要利用好假设条件和Rk=Rk-1+Tk就可证出．
    （3）先说明：q≠0．如果q=0，则f(x)=
    1
    p
    ，
    lim
    n→∞
    f(an)不是0    ，∴q≠0；再根据(p-1)•3qx+1≠0恒成立．即p-1≠-(
    1
    3q
    )x    恒成立．由于q≠0时，-(
    1
    3q
    )x    的值域为（-∞，0），结合条件得出3q＞1从而得出p+q＞1．
    解答：解：（1）由已知n∈N*时，2Sn=an+an2总成立．∴2Sn-1=an-1+an-12（n≥2），
    两式作差，得2an=an+an2-an-1-an-12，∴an+an-1=（an+an-1）（an-an-1），∵an、an-1均为正数．∴an-an-1=1（n≥2）．∴{an}是公差为1的等差数列．
    又n=1时，2S1=2a1=a1+a12，得a1=1，故an=n．…（4分）
    （2）下面用数学归纳法证明：
    ①当n=2时，R1=T1=
    1
    a1
    =1，2(T2-1)=2(
    1
    a1
    +
    1
    a2
    -1)=1    ．∴n=2时，等式成立
    ②假设当n=k（k≥2）时，
    Rk=Rk-1+Tk=k(Tk-1)+Tk=(k+1)Tk-k=(k+1)(Tk+1-
    1
    ak+1
    )-k
    =(k+1)(Tk+1-
    1
    k+1
    )-k=(k+1)(Tk+1-1+1-
    1
    k+1
    )-k=(k+1)(Tk+1-1).
    当n=k+1时，等式也成立.

    综合①和②，可知所要证明的等式成立．…（10分）
    （3）如果q=0，则f(x)=
    1
    p
    ，
    lim
    n→∞
    f(an)不是0    ，∴q≠0，∵f（x）定义域为R，
    ∴(p-1)•3qx+1≠0恒成立．即p-1≠-(
    1
    3q
    )x    恒成立．由于q≠0时，-(
    1
    3q
    )x    的值域为（-∞，0），
    ∴p-1≥0，又当p=1时，f（x）=1.
    lim
    n→∞
    f(an)≠0    ，
    ∴p＞1．
    ∵
    lim
    n→∞
    f(an)    =
    lim
    n→∞
    1
    (p-1)•3qn+1
    =
     
    10＜3q＜1
    1
    p
    		3q=1
    ，，
    left
    0&3q
    		＞
    1

    ∴3q＞1，∴q＞0，故p+q＞1…16分
    点评：本题的第1问比较简单，主要考查了 an =
    S1            n=1
    Sn-Sn-1    n≥2
    这个知识点．第2问主要考查了数学归纳法证明，关键在于 n=k+1时的推导过程要利用好假设条件和题的条件，运算的技巧性较强．
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    3
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    4
    4
    ．

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    1或2
    1或2
    ．

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