Question

如图,P是正方形ABCD所在平面外一点,且PA⊥平面ABCD,AE⊥PD,EF∥CD,AM=EF.

(1)证明MF是异面直线AB与PC的公垂线;

(2)若PA=3AB,求直线AC与平面AEM所成角的正弦值.

Answer 1

(1)证明:∵EF∥CD,CD∥AM,

∴EF∥AM.

又AM=EF,

∴四边形AEFM为平行四边形.

∵PA⊥平面ABCD,

∴PA⊥AM.而AM⊥AD,

∴AM⊥平面PAD.从而AM⊥AE.

∴四边形AEFM为矩形.

∴MF⊥AB于M.

又AE⊥PD,AE⊥EF,

∴AE⊥平面PDC.从而MF⊥平面PDC.

∴MF⊥PC于F,因此命题成立.

(2)解:如下图,连结BD交AC于O,连结BE,过O作BE的垂线OH,垂足为H.

依题意,PD⊥平面AEM,

∴ED⊥BE.

又OH⊥BE,

∴OH∥DE.

因此OH⊥平面AEM.连结AH,则∠HAO是直线AC与平面AEM所成的角.

设AB=a,则PA=3a,AO=AC=,

由Rt△ADE∽Rt△PDA,得ED=,OH=ED=,

∴sin∠HAO=,

即AC与平面AEM所成角的正弦值为.