Question

a

，

b

是互相垂直的单位向量，向量

c

满足

a

•

c

=

b

•

c

=1，那么对任意的正实数t，|

c

+t

a

+

1

t

b

|的最小值为（　　）

• A．2
• B．2

  2

• C．4
• D．4

  2

Answer 1

分析：将向量

a

，

b

放入坐标系，利用条件求出坐标，根据向量长度和坐标之间的关系求t即可．

解答：解：∵

a

，

b

是互相垂直的单位向量，
不妨设

a

=(1，0)，

b

=(0，1)，

c

=(x，y)，
则由

a

•

c

=

b

•

c

=1，
得x=y=1，即

c

=(1，1)．
∴

c

+t

a

+

1

t

b

=（1，1）+（t，0）+（0，

1

t

）=（1+t，1+

1

t

），
∴|

c

+t

a

+

1

t

b

|=

(1+t)2+(1+ 1 t )2

 =

2+2(t+ 1 t )+t2+ 1 t2

，
∵t＞0，
∴t+

1

t

≥2，t2+

1

t2

≥2，当且仅当t=1时，取等号，
∴|

c

+t

a

+

1

t

b

|=

2+2(t+ 1 t )+t2+ 1 t2

≥

2+4+2

=

8

=2

2

．
故|

c

+t

a

+

1

t

b

|的最小值为2

2

．
故选：B．

点评：本题主要考查平面向量的应用，利用向量长度与坐标之间的关系进行运算，利用条件将向量

a

，

b

转化为坐标是解决本题的关键．