Question

在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且（2a﹣c）cosB=bcosC．

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）若点D为BC边的中点，∠CAD=，CD=1，求c的值．

Answer 1

考点：

余弦定理；正弦定理．

专题：

解三角形．

分析：

（Ⅰ）方法一：利用正弦定理把边化角，利用两角和差的正弦公式和诱导公式化简，由内角的范围取舍，求出角B的值，

方法二：利用余弦定理把角化边，化简后代入余弦定理的推论，求出B的余弦值，再求出B的值；

（Ⅱ）由正弦定理在△ACD，△ABD中分别列出两个方程，再由（1）和条件，用内角和定理求出∠ABC，再把条件代入方程化简，由内角的范围求出角C的值，分情况判断三角形的形状求出对应的c．

解答：

解：（Ⅰ）方法一：

∵，

∴．

∵（2a﹣c）cosB=bcosC，

∴．

∴2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC．

∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA．

∵A∈（0，π），∴sinA≠0．∴．

∵B∈（0，π），∴．

方法二：

∵（2a﹣c）cosB=bcosC，

∴，

化简得 a²+c²﹣b²=ca，

∴，

∵B∈（0，π），∴，

（Ⅱ）在△ACD，△ABD中，．

由（Ⅰ）知：．

∵点D为BC边的中点，，∴∠ABC=π﹣=，

∴，

化简得，

∵，∴2C∈（0，π），

∴2C=或，即或，

当时，△ABC为等边三角形，由CD=1可得：AB=2CD=2；

当时，，所以△ABD为等边三角形，由CD=1可得：AB=BD=CD=1．

综上得，c=2或c=1．

点评：

本题考查了正（余）弦定理在解三角形中的综合应用：边角互化或求值，以及内角和定理，倍角的正弦公式，注意求出三角函数值再求角时，一定要判断角的范围．