Question

函数f(x)=(

1

3

)x-sinx在区间[0，2π]上的零点个数为（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：分别讨论函数y=sinx与y=(

1

3

)x的单调性与最值，可得f(x)=(

1

3

)x-sinx满足f（0）=1＞0，f（

π

2

）＜0，f（π）=(

1

3

)π＞0，当x∈（π，2π]时，f（x）＞0恒成立．由此即可得到函数f（x）在区间（0，

π

2

）和（

π

2

，π）上分别有一个零点．

解答：解：∵函数y=sinx在（0，

π

2

）、（

3π

2

，2π）上是增函数，在（

π

2

，

3π

2

）上是减函数
sin0=sin2π=0，sin

π

2

=1，sin

3π

2

=-1
∴函数y=sinx在x=

π

2

有最大值1，在x=

3π

2

处有最小值为-1
又∵y=(

1

3

)x在区间[0，2π]上为减函数，
∴y=(

1

3

)x在x=0处有最大值为1，在x=2π处有最小值(

1

3

)2π∈(0，

1

36

)
而f(x)=(

1

3

)x-sinx满足f（0）=1＞0，f（

π

2

）＜0，f（π）=(

1

3

)π＞0，当x∈（π，2π]时，f（x）＞0恒成立
综合以上信息，可得函数f(x)=(

1

3

)x-sinx在区间[0，2π]上有两个零点，分别位于（0，

π

2

）和（

π

2

，π）
故选：B

点评：本题给出含有三角函数和指数的函数，讨论函数在区间[0，2π]上的零点个数．着重考查了函数的图象与性质、基本初等函数的单调性与最值等知识，属于中档题．