Question

（2012•漳州模拟）已知定义在R上的函数f（x）满足：①当x＞0时，f（x）＞1，②?x、y∈R，f（x+y）=f（x） f（y）．数列{a_n}满足①a₁=1，②f（a_n+1）=f（a_n） f（1），（n∈N^*），Tn=-a12+a22-a32+…+（-1）ⁿ

a

2 n

，则T₁₀₀等于（　　）

A．4900

B．-4900

C．5050

D．-5050

Answer 1

分析：先根据抽象函数的性质，证明出函数f（x）在R上是单调递增函数．从而f（a_n+1）=f（a_n） f（1）=f（a_n+1），所以a_n+1=a_n+1，判断出数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，通项公式为a_n=n．再利用分组求和法求和即可．

解答：解：对任意x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）•f（y），
可令x=1，y=0 可得 f（0+1）=f（0）．f（1）
因为x＞0时，有0＜f（x）＜1，故f（1）＞0
所以 f（0）=1
再取x=-y，可得f（0）=f（-y+y）=f（-y）•f（y）=1
所以f（-y）=

1

f(y)

，同理以f（-x）=

1

f(x)

当x＜0时，-x＞0，根据已知条件得f（-x）＞1，即

1

f(x)

＞1，
变形得0＜f（x）＜1．
综上所述任意x∈R，f（x）＞0．
设任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）=f（x₂）f（-x₁）=

f(x2)

f(x1)

＞1，f（x₂）＞f（x₁）
所以函数f（x）在R上是单调递增函数．
f（a_n+1）=f（a_n） f（1）=f（a_n+1），所以a_n+1=a_n+1，数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，通项公式为a_n=n．
T100=(-12+22)+(-32+42) +…(-992+1002)=3+7+…+199=

(3+199)×50

2

=5050．
故选C．

点评：本题考查抽象函数性质的证明与应用，数列求和．考查推理论证、计算化简能力．