Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=2BC，E，F，E₁分别是棱AA₁，BB₁，A₁B₁的中点．
（1）求证：CE∥平面C₁E₁F；
（2）求证：平面C₁E₁F⊥平面CEF．

Answer 1

证明：（1）取CC₁的中点G，连接B₁G交C₁F于点F₁，连接E₁F₁，A₁G，FG，
∵F是BB₁的中点，BCC₁B₁是矩形，
∵四边形FGC₁B₁也是矩形，
∴FC₁与B₁G相互平分，即F₁是B₁G的中点．
又E₁是A₁B₁的中点，∴A₁G∥E₁F₁．
又在长方体中，AA₁綊CC₁，E，G分别为AA₁，CC₁的中点，
∴A₁E綊CG，∴四边形A₁ECG是平行四边形，
∴A₁G∥CE，∴E₁F₁∥CE．
∵CE?平面C₁E₁F，E₁F₁?平面C₁E₁F，
∴CE∥平面C₁E₁F．
（2）∵长方形BCC₁B₁中，BB₁=2BC，F是BB₁的中点，
∴△BCF、△B₁C₁F都是等腰直角三角形，
∴∠BFC=∠B₁FC₁=45°，
∴∠CFC₁=180°-45°-45°=90°，
∴C₁F⊥CF．
∵E，F分别是矩形ABB₁A₁的边AA₁，BB₁的中点，
∴EF∥AB．
又AB⊥平面BCC₁B₁，又C₁F?平面BCC₁B₁，
∴AB⊥C₁F，∴EF⊥C₁F．
又CF∩EF=F，∴C₁F⊥平面CEF．
∵C₁F?平面C₁E₁F，∴平面C₁E₁F⊥平面CEF．
分析：（1）要求证：CE∥平面C₁E₁F，取CC₁的中点G，连接B₁G交C₁F于点F₁，连接E₁F₁，A₁G，FG，证明E₁F₁∥CE即可；
（2）要证：平面C₁E₁F⊥平面CEF，证明C₁F⊥CF，EF⊥C₁F即可．
点评：本题考查直线与平面平行和垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．