Question

（22）已知｛a_n｝是由非负整数组成的数列，满足

a₁＝0，a₂＝3，a_n＋1a_n＝（a_n－1＋2）（a_n－2＋2），n＝3，4，5，…．

（Ⅰ）求a₃；

（Ⅱ）证明a_n＝a_n－2＋2，n＝3，4，5，…；

（Ⅲ）求｛a_n｝的通项公式及其前n项和S_n．

Answer 1

（22）本小题主要考查数列与等差数列前n项和等基础知识，以及准确表述，分析和解决问题的能力.

解：

（Ⅰ）由题设得a₃a₄＝10，且a₃、a₄均为非负整数，所以a₃的可能的值为1，2，5，10． 

若a₃＝1，则a₄＝10，a₅＝，与题设矛盾．

若a₃＝5，则a₄＝2，a₅＝，与题设矛盾．

若a₃＝10，则a₄＝1，a₅＝60，a₆＝，与题设矛盾.

所以a₃＝2.                                                              

 

（Ⅱ）用数学归纳法证明：

①当n＝3，a₃＝a₁＋2，等式成立．

②假设当n＝k（k≥3）时等式成立，即a_k＝a_k－2＋2，

 

由题设a_k＋1a_k＝（a_k－1＋2）（a_k－2＋2），

因为a_k＝a_k－2＋2≠0，

所以a_k＋1＝a_k－1＋2，

也就是说，当n＝k＋1时，等式a_k＋1＝a_k－1＋2成立．

根据①和②，对于所有n≥3，有a_n＋1＝a_n－1＋2.                 

 

（Ⅲ）由a_2k－1＝a_{2（k－1）－1}＋2，a₁＝0，及

 

a_2k＝a_2（k－1）＋2，a₂＝3得a_2k－1＝2（k－1），a_2k＝2k＋1，k＝1，2，3，…．

 

即a_n＝n＋（－1）ⁿ，n＝1，2，3，….                               

 

所以S_n＝