Question

已知在等差数列{a_n}中，a₁=3，前n项和为S_n，等比数列{b_n}的首项b₁=1，公比q=

S2

b2

＞0，且b₂+S₂=12，
（1）求a_n与b_n；
（2）求和：

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

．

Answer 1

分析：（1）求a_n与b_n由a₁=3，前n项和为S_n，等比数列{a_n}的首项b₁=1，公比q=

S2

b2

＞0，且b₂+S₂=12这些条件联立方程组求出两个数列的公比与公差，结合相应的通项公式即可求出两个数列的通项．
（2）首先要求出等差数列{a_n}的前n项和为S_n，对其倒数的形式进行研究，发现可用裂项求和的方法求其各项的倒数和．

解答：解：（1）由

q+3+a2=12 q= 3+a2 q

，解得q=3或q=-4（舍去）（2分）a₂=6，d=a₂-a₁=3，（4分）
∴a_n=3+（n-1）3=3n，b_n=3^n-1；（6分）
（2）∵Sn=

n(3+3n)

2

，（8分）∴

1

Sn

=

2

n(3+3n)

=

2

3

(

1

n

-

1

n+1

)（10分）
∴

1

S1

+

1

S2

++

1

Sn

=

2

3

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

++

1

n

-

1

n+1

)=

2

3

(1-

1

n+1

)=

2n

3(n+1)

．（12分）

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查利用数列的性质及所给的等式建立方程求通项以及对裂项求和的技巧，本题中裂项时注意恒等变形．