Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足4S=

3

(a2+b2-c2)
（I）求角C的大小；
（II）若边长c=2，求△ABC的周长的最大值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得

1

2

absinC=

3

4

•2abcosC，可求tanC，进而可求C
（2）由c=2，要求△ABC的周长的最大值，只要求a+b的最大值，由（1）知，C=

1

3

π，利用余弦定理可得

1

2

=

a2+b2-4

2ab

，结合ab≤ ( 

a+b

2

)2可求a+b的范围，可求周长的最大值
另法：由正弦定理得到

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

2

sin π 3

=

4 3

3

，a+b=

4

3

(sinA+sinB)=

4

3

[sinA+sin(

2π

3

-A)]=4sin(A+

π

6

)，结合正弦函数的性质可求

解答：解：（1）由题意可知，S=

1

2

absinC，cosC=

a2+b2-c2

2ab

（2分）

1

2

absinC=

3

4

•2abcosC，所以tanC=

3

．（5分）
因为0＜C＜π，所以C=

π

3

．（6分）
（2）由（1）知，C=

1

3

π
∴

1

2

=

a2+b2-4

2ab

∴a²+b²-4=ab（7分）
∴（a+b）²-4=3ab（8分）
∵ab≤ ( 

a+b

2

)2当且仅当a=b时取等号
∴(a+b)2-4≤3(

a+b

2

)2（10分）
∴a+b≤4，
∴△ABC的周长最大值为6
另法：由正弦定理得到

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

2

sin π 3

=

4 3

3

所以，a+b=

4

3

(sinA+sinB)=

4

3

[sinA+sin(

2π

3

-A)]=4sin(A+

π

6

)
所以，当A=

π

3

时，a+b最大值为4，所以△ABC的周长的最大值为6．
其他方法请分步酌情给分

点评：本题主要考查了三角形的面积公式及正弦定理、余弦定理等知识的综合应用，基本不等式在求解最大值中的应用，属于综合试题