Question

(19)如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，

棱EFBC．

(Ⅰ)证明FO∥平面CDE；

(Ⅱ)设BC=CD，证明EO⊥平面CDF.

 

Answer 1

本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力．

    (Ⅰ)证明：取CD中点M，连结OM．

    在矩形ABCD中，

    OMBC，又EFBC，

则EFOM．连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形．

∴FO∥EM．

又∵FO平面CDE，且EM平面CDE，∴FO∥平面CDE．

(Ⅱ)证明：连结FM．由(Ⅰ)和已知条件，在等边△CDE中，CM=DM，

EM⊥CD且EM=CD=BC=EF．

因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM．

∵CD⊥OM，CD⊥EM，∴CD⊥平面EOM．从而CD⊥EO．

而FM∩CD=M，所以EO⊥平面CDF.