Question

如图：直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，

(1)求侧棱BB₁的长；

(2)求二面角A₁－B₁C－B的大小；

(3)求直线A₁B与平面A₁B₁C所成角的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)过C作CH⊥AB于H，连结B1H，　　　　1分 　　由△ACH∽△ABC得AC2＝AB·AH， 　　∵AC＝2，BC＝2，AC⊥BC 　　∴AB＝4，AH＝1，BH＝3，…2分 　　又易知CH⊥面ABB1A1，∵B1C⊥A1B， 　　∴B1H⊥A1B，　　　　　　　　3分 　　∴△A1B1B∽△B1BH则有 　　解得BB1＝2　　　　　　4分 　　(另解：连结B1C，证A1C1⊥面BC　C1B1，　　　　2分 　　由B1C⊥A1B得B1C⊥BC1，　　　　　　　3分 　　从而BC　C1B1是正方形，得BB1＝2　　　4分) 　　(2)由(1)知A1C1⊥面CC1B1，过C1作C1O⊥B1C于O，连结A1O， 　　则A1O⊥B1C，二面角A1－B1C－C1的平面角为∠A1OC1　　6分 　　∴tan∠A1OC1＝　　　　　　　　7分 　　设所求二面角A1－B1C－B的平面角为θ， 　　则θ＝π－∠A1OC1＝π－arctan　　　　　　　8分 　　(3)设点B到面A1B1C的距离为d　　　　　　9分 　　　　　　　　　　10分 　　∵＝，设A1B与面A1B1C所成的角为α， 　　则　　　　　　　　11分 　　　　　　　　　　　　12分 　　另解： 　　(1)建立如图空间直角坐标系，设AA1＝a　　　　　　　1分 　　则A(2，0，0)，B(0，2，0)，A1(2，0，a)，B1(0，2，a)， 　　C1(0，0，a)，，　　　　　3分 　　　　　　　　4分 　　(2)显然面B1BC的法向量＝(1，0，0)，　　　　　5分 　　设面A1B1C的法向量＝(x，y，z) 　　　　　　　　　　　　　　6分 　　　　　　　　　　　　7分 　　设二面角A1－B1C－B的平面角为θ，则　　　　8分 　　(3)　　　　　　　9分 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　11分 　　设A1B与面A1B1C所成的角为α，则　 　　　　　　　　　　　　　12分