Question

在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．

(Ⅰ)求证：EF⊥CD；

(Ⅱ)求二面角F－DE－B的大小．

Answer 1

答案：
解析：

方法一：(见图) 　　(Ⅰ)∵AE＝EB，PF＝FB，∴EF∥AP，又∵ABCD为正方形，∴，又∵PD⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，∴EF⊥CD．(4分) 　　(Ⅱ)连结AC，BD，设AC∩BD＝O，连结FO，作OH⊥DE于H，连结FH．因F与O都是中点，∴OF是⊿BDP的中位线，∴OF∥PD，∵PD⊥底面ABCD，∴FO⊥底面ABCD，∴由三垂线定理得FH⊥DE，∴∠FHO是F－DE－B的平面角． 　　设，则，在△DOE中，， 　　∵△DOE面积为正方形面积的，即为， 　　∴， 　　∴．(12分) 　　方法二：(见图) 　　(Ⅰ)如上图，以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x、y、x轴建立空间直角坐标系，设，则，， 　　． 　　∴，∴．(4分) 　　(Ⅱ)设平面DEF的法向量为n1＝(x，y，z)，则， 　　∴， 　　令x＝1得y＝－2，z＝1，∴． 　　而平面ABCD的一个法向量为， 　　∴．(12分)