Question

（2012•保定一模）定义域为R的函数f（x）满足f（1）=1，且 f（x）的导函数f′（x）＞

1

2

，则满足2f（x）＜x+1的x的集合为（　　）

A．{x|-1＜x＜1}

B．{x|x＜1}

C．{x|x＜-1或x＞1}

D．{x|x＞1}

Answer 1

分析：令F（x）=2f（x）-x，然后根据导数符号研究函数的单调性，从而得到变量x的不等式，解之即可．

解答：解：令F（x）=2f（x）-x
则F′（x）=2f′（x）-1＞0
∴F（x）在R上单调递增
∵F（1）=2f（1）-1=2-1=1，2f（x）＜x+1
∴F（x）=2f（x）-x＜1=F（1）
即x＜1
故满足2f（x）＜x+1的x的集合为为{x|x＜1}
故选B．

点评：本题主要考查了导数的运算，以及构造法的应用，解题的关键是令F（x）=2f（x）-x后利用单调性解不等式，属于中档题．