Question

设函数f（x）=-x³+2x²-x+2．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对任意的x₁，x₂∈[0，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤M恒成立，求M的最小题．

Answer 1

分析：（1）求出函数f（x）的导数，通过讨论导数的正负，令导数大于零得出函数的单调增区间，令导数小于零得出函数的单调减区间；
（2）原问题可化为函数f（x）在区间[0，1]上的最大值与最小值的差小于或等于M，由（1）的结论，列出函数f（x）在区间[0，1]上的单调性的表格，求出其最小值为f(

1

3

)=

50

27

，最大值为f（0）=f（1）=2，故M≥|2-

50

27

|=

4

27

，故M的最小值为

4

27

．

解答：解：（1）f′(x)=-3x2+4x-1．由f/(x)＞0得

1

3

＜x＜1，
由f′(x)＜0得x＜

1

3

或x＞1．
故函数f（x）的单调增区间是（

1

3

，1），单调递减区间是（-∞，

1

3

），（1，+∞）．（7分）
（2）根据（1）的讨论列下表：

x	0	（0， 1 3 ）	1 3	( 1 3 ，1)	1
f/（x）		-	0	+
f（x）	2		极小值 50 27		2

由此可知，函数f（x）在区间[0，1]的最小值为f(

1

3

)=

50

27

，最大值为f（0）=f（1）=2．
对任意的x1，x2∈[0，1]，|f(x1)-f(x2)|≤|f(x)max-f(x)min|=

4

27

，
故对任意的x₁，x₂∈[0，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤M恒成立，则M的最小值为

4

27

．（13分）

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，求函数在闭区间上的最大值和最小值，属于中档题．