Question

（本小题满分14分）

已知函数．

（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若且函数在其定义域内为增函数，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若函数在存在极值，求实数的取值范围．

Answer 1

答案

（Ⅱ），                                                        …………4分

      要使在定义域内是增函数，只需在内恒成立

即在上恒成立，                                            ……………5分

（法一）即在上恒成立

     ∴，设                                   ……………6分

     则 

     ∵，∴ ，当且仅当时取等号                             ……………7分

     ∴ ，即，∴

     所以实数的取值范围是                                                        ……………8分

（法二）令，

要使在定义域内是增函数，只需在内恒成立． ………5分

由题意，的图象为开口向上的抛物线，

对称轴方程为，∴，                              ……………6分

∴，                                                                                     ……………7分

解得 

∴实数的取值范围是．                                                          ……………8分

（Ⅲ）∵，令，即              ……………9分

设

当时，方程（）的解为，此时在无极值，

所以；

当时，的对称轴方程为

①若在恰好有一个极值

 则 ，解得

      此时在存在一个极大值；                                              …………11分

      ②若在恰好两个极值，即在有两个不等实根

      则 或 ，解得            ……………13分

．

综上所述，当时，在存在极值.               ……………14分