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    （理）已知对于任意正整数n，都有a1+a2+…+an=n3，则
    lim
    n→+∞
    (
    1
    a2-1
    +
    1
    a3-1
    +…+
    1
    an-1
    )    =______．
    ∵当n≥2时，有a1+a2+…+an-1+an=n3，
    a1+a2+…+an-1=（n-1）3，
    两式相减，得an=3n2-3n+1，
    ∴
    1
    an-1
    =
    1
    3n(n-1)
    =
    1
    3
    （
    1
    n-1
    -
    1
    n
    ），
    ∴
    1
    a2-1
    +
    1
    a3-1
    +…+
    1
    an-1
    ，
    =
    1
    3
    （1-
    1
    2
    ）+
    1
    3
    （
    1
    2
    -
    1
    3
    ）+…+
    1
    3
    （
    1
    n-1
    -
    1
    n
    ），
    =
    1
    3
    （1-
    1
    n
    ）．
    ∴
    lim
    n→+∞
    (
    1
    a2-1
    +
    1
    a3-1
    +…+
    1
    an-1
    )
    =
    lim
    n→∞
    1
    3
    (1-
    1
    n
    )
    =
    1
    3
    ．
    故答案为：
    1
    3
    ．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （理）已知函数f（x）=x2+aln（x+1）．
    （1）若函数f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围；
    （2）证明：a=1时，对于任意的x1，x2∈[1，+∞），且x1≠x2，都有
    f(x1)-f(x2)
    x1-x2
    ＞
    5
    2
    ；
    （3）是否存在最小的正整数N，使得当n≥N时，不等式ln
    n+1
    n
    ＞
    n-1
    n3
    恒成立．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2007•静安区一模）（理）已知对于任意正整数n，都有a1+a2+…+an=n3，则
    lim
    n→+∞
    (
    1
    a2-1
    +
    1
    a3-1
    +…+
    1
    an-1
    )    =
    1
    3
    1
    3
    ．

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    科目：高中数学 来源：2012-2013学年江苏省徐州市高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

    （理）已知函数f（x）=x2+aln（x+1）．
    （1）若函数f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围；
    （2）证明：a=1时，对于任意的x1，x2∈[1，+∞），且x1≠x2，都有；
    （3）是否存在最小的正整数N，使得当n≥N时，不等式恒成立．

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    科目：高中数学 来源：2008年上海市静安区高考数学一模试卷（文理合卷）（解析版） 题型：解答题

    （理）已知对于任意正整数n，都有a1+a2+…+an=n3，则=    ．

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