Question

已知f（x）=log_a（8-2^x），（a＞0，a≠1）
（1）若函数f（x）的反函数是其本身，求a的值；
（2）当a＞1时，求使f（x）＞0的x的取值范围．

Answer 1

解：（1）函数f（x）的反函数是：
f^-1（x）=log₂（8-a^x），（2分）
由题意可得：
log_a（8-2^x）=log₂（8-a^x），
∴a=2（2分）
（2）由f（x）＞0得：
log_a（8-2^x）＞0，
当a＞1时，8-2^x＞1（2分）
解得x的取值范围：x＜log₂7（2分）．
分析：（1）先求出反函数的解析式，利用反函数和原函数的解析式相同，求出a的值．
（2）当a＞1时，原不等式可为：8-2^x＞1，再利用指数不等式求解即可．
点评：本题考查求函数的反函数的方法，对数式的运算性质，指数式与对数式的互化，指、对不等式的应用．