Question

已知向量=（cosx，sinx），=（cosx，-sinx），且x∈[0，]．求：
（Ⅰ） 及；
（Ⅱ）若f（x）=-2λ的最小值是-，求λ的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用向量的数量积公式，结合差角的三角函数，角的范围，即可得出结论；
（II）f（x）=cos2x-4λcosx=2cos²x-1-4λcosx，设t=cosx，可得y=f（x）=2t²-4λt-1=2（t-λ）²-1-2λ²，分类讨论，利用最小值是-，即可求λ的值．
解答：解：（Ⅰ）=cos2x--------------------（3分）
=
∵x∈[0，]，∴cosx＞0，∴=2cosx．-------------------------------------（6分）
（Ⅱ）f（x）=cos2x-4λcosx=2cos²x-1-4λcosx，设t=cosx，
则∵，∴t∈[0，1]
即y=f（x）=2t²-4λt-1=2（t-λ）²-1-2λ²．----------------------------------------（7分）
①λ＜0时，当且仅当t=0时，y取最小值-1，这与已知矛盾--------------------（8分）
②当0≤λ≤1时，当且仅当t=λ时，y取得最小值-1-2λ²，
由已知得，解得λ=---------------------------------------------（10分）
③当λ＞1时，当且仅当t=1时，y取得最小值1-4λ．
由已知得，解得λ=，这与λ＞1相矛盾．
综上λ=为所求．-----------------------------------------------------------------（12分）
点评：本题考查向量知识的运用，考查三角函数的化简，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．