Question

18、已知函数f（x）=x³-6ax²．
（I）当a=-1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（II）讨论函数y=f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（I）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（II）先求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，因为在函数式中含字母系数a，要对a分类讨论．

解答：解：f'（x）=3x²-12ax
（Ⅰ）当a=-1时，y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率是k=15，而f（1）=7
曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y-7=15（x-1），即15x-y-8=0．（6分）
（Ⅱ）令f′（x）=3x²-12ax=3x（x-4a）=0∴x₁=0，x₂=4a
（1）当4a=0，即a=0时f'（x）=3x²≥0∴f（x）在R上为增函数．
（2）当4a＜0，即a＜0时，在区间（-∞，4a），（0，+∞）内f'（x）＞0，
在区间（4a，0）内f'（x）＜0．∴f（x）在（-∞，4a），（0，+∞）内为增函数，在（4a，0）内为减函数．
（3）当4a＞0，即a＞0时，在区间（-∞，0），（4a，+∞）内f'（x）＞0，
在区间（0，4a）内f'（x）＜0．∴f（x）在（-∞，0），（4a，+∞）内为增函数，在（0，4a）内为减函数．（14分）

点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．