Question

已知函数f（t）=log₂t，t∈[，8]，
（1）求f（t）的值域G；
（2）若对于G内的所有实数x，不等式-x²+2mx-m²+2m≤1恒成立，求实数m的取值范围。

Answer 1

解：(Ⅰ)∵f(t)=log₂t在t∈[，8]上是单调递增的，
∴log₂≤log₂t≤log₂8，
即≤f(t)≤3，
∴f(t)的值域G为[，3]。
(Ⅱ)由题知-x²+2mx-m²+2m≤1在x∈[，3]上恒成立-2mx+m²-2m+1≥0在x∈[，3]上恒成立，
令g(x)=x²-2mx+m²-2m+1，x∈[，3]，
只需g_min(x)≥0即可，
而g(x)=(x-m)²-2m+1，x∈[，3]，
(1)当m≤时，g_min(x)=g()=-3m+m²+1≥0，
∴4m²-12m+5≥0，解得m≥或m≤，
∴m≤；
(2)当＜m＜3时，g_min(x)=g(m)=-2m+1≥0，解得m≤这与＜m＜3矛盾；
(3)当m≥3时，g_min(x)=g(3)=10+m²-8m≥0，解得m≥4+或m≤4-，
而m≥3，
∴m≥4+；
综上，实数m的取值范围是(-∞，)∪[4+，+∞]。