Question

求证:aⁿ⁺¹+(a+1)^2n-1能被a²+a+1整除，n∈N^*.

Answer 1

思路解析：证明整除性问题的关键是“凑项”采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出n=k时的情形，从而利用归纳假设使问题获证.

证明：（1）当n=1时，命题显然成立.

（2）设n=k时，aⁿ⁺¹+(a+1)^2n-1能被a²+a+1整除，则

    当n=k+1时，a^k+2+(a+1)^2k+1=a·a^k+1+(a+1)²(a+1)^2k-1

=a［a^k+1+(a+1)^2k-1］+(a+1)²(a+1)^2k-1-a(a+1)^2k-1

=a［a^k+1+(a+1)^2k-1］+(a²+a+1)(a+1)^2k-1，上式中的两项都能被a²+a+1整除，故n=k+1时命题成立.