Question

已知椭圆的某个焦点为F，双曲线（a，b＞0）的某个焦点为F．
（1）请在______

Answer 1

【答案】分析：（1）可以考虑椭圆的离心率，长轴长等；或椭圆所经过的点；或椭圆的准线及利用椭圆的定义给出条件
（2）一：考虑椭圆的某个焦点为F，定点P（m，n）满足的相关的性质
 二：考虑双曲线（a，b＞0）的某个焦点为F，定点P（m，n）满足相关的性质
（3）先求以PF为直径的圆的方程为，设A（0，y₁），B（0，y₂），则可得，从而可得直线PA的方程为，即px-2y₁y+2y₁²=0
联立，可得到y²-4y₁y+4y₁²=0，通过判断△=0
解答：解：（1）补充一：椭圆的离心率为，且椭圆的长轴长为
补充二：椭圆过和
补充三：椭圆上任一点到椭圆两焦点的距离和为，且椭圆的一条准线长为
类似地还可以有很多补充，这里不再赘述，评卷员视实际情况给分，本题满分（2分）
（2）命题一：已知椭圆的某个焦点为F，定点P（m，n）满足，
以PF为直径的圆与圆x²+y²=a²交于A、B两点，则PA、PB与椭圆相切．（5分）
命题二：已知双曲线（a，b＞0）的某个焦点为F，定点P（m，n）满足，
以PF为直径的圆与圆x²+y²=a²交于A、B两点，则PA、PB与双曲线相切．（9分）
（3）证明：以PF为直径的圆的方程为，
设A（0，y₁），B（0，y₂），
则，
直线PA的方程为，即px-2y₁y+2y₁²=0
联立，
消去x得到y²-4y₁y+4y₁²=0，所以△=0，所以直线PA与抛物线相切．
同理可证PB与抛物线相切．（13分）
点评：本题主要考查了椭圆的性质的应用，圆锥曲线的综合应用，解（2）的关键是要能由已知进行类别，解决本题要求考试具备较强的类比的能力及逻辑推理的能力．