Question

用定义证明：f(x)=

2x

x2-1

在（-1，1）上单调递减．

Answer 1

分析：用单调性的定义证明步骤：（1）取值，（2）作差，（3）化简，（4）判号，（5）得结论．

解答：解：在（-1，1）上任取两实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

2x1

x12-1

-

2x2

x22-1

=

2(x1x2+1)(x2-x1)

(x1+1)(x1-1)(x2+1)(x2-1)

，
因为-1＜x₁＜x₂＜1，所以-1＜x₁•x₂＜1，x₁•x₂+1＞0，
x₂-x₁＞0，x₁+1＞0，x₁-1＜0，x₂+1＞0，x₂-1＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以f(x)=

2x

x2-1

在（-1，1）上单调递减．

点评：本题考察函数单调性的证明，主体部分是化简和判号，要细心．