Question

如图，在组合体中，ABCD-A₁B₁C₁D₁是一个长方体，P-ABCD是一个四棱锥．AB=2，BC=3，点P∈平面CC₁D₁D且PD=PC=

2

．
（Ⅰ）证明：PD⊥平面PBC；
（Ⅱ）求PA与平面ABCD所成的角的正切值；
（Ⅲ）若AA₁=a，当a为何值时，PC∥平面AB₁D．

Answer 1

方法一：（Ⅰ）证明：因为PD=PC=

2

，CD=AB=2，
所以△PCD为等腰直角三角形，所以PD⊥PC．                …（1分）
因为ABCD-A₁B₁C₁D₁是一个长方体，所以BC⊥面CC₁D₁D，
而P∈平面CC₁D₁D，所以PD?面CC₁D₁D，所以BC⊥PD．    （3分）
因为PD垂直于平面PBC内的两条相交直线PC和BC，
所以由线面垂直的判定定理，可得PD⊥平面PBC．…（4分）
（Ⅱ）过P点在平面CC₁D₁D作PE⊥CD于E，连接AE．…（5分）
因为面ABCD⊥面PCD，所以PE⊥面ABCD，
所以∠PAE就是PA与平面ABCD所成的角．…（6分）
因为PE=1，AE=

10

，所以tan∠PAE=

PE

AE

=

1

10

=

10

10

．
所以PA与平面ABCD所成的角的正切值为

10

10

．…（8分）
（Ⅲ）当a=2时，PC∥平面AB₁D．…（9分）
当a=2时，四边形CC₁D₁D是一个正方形，所以∠C₁DC=45°，
而∠PDC=45°，所以∠PDC₁=90°，所以C₁D⊥PD．…（10分）
而PC⊥PD，C₁D与PC在同一个平面内，所以PC∥C₁D．…（11分）
而C₁D?面AB₁C₁D，所以PC∥面AB₁C₁D，所以PC∥平面AB₁D． …（12分）
方法二：（Ⅰ）证明：如图建立空间直角坐标系，设棱长AA₁=a，则有D（0，0，a），P（0，1，a+1），B（3，2，a），C（0，2，a）．  …（2分）
于是

PD

=(0，-1，-1)，

PB

=(3，1，-1)，

PC

=(0，1，-1)，所以

PD

•

PB

=0，

PD

•

PC

=0．…（3分）


所以PD垂直于平面PBC内的两条相交直线PC和BC，由线面垂直的判定定理，可得PD⊥平面PBC．  …（4分）
（Ⅱ）A（3，0，a），所以

PA

=(3，-1，-1)，而平面ABCD的一个法向量为

n1

=(0，0，1)．…（5分）
所以cos＜

PD

，

n1

＞=

-1

11 ×1

=-

11

11

．…（6分）
所以PA与平面ABCD所成的角的正弦值为

11

11

． …（7分）
所以PA与平面ABCD所成的角的正切值为

10

10

．…（8分）
（Ⅲ）B₁=（3，2，0），所以

DA

=(3，0，0)，

AB1

=(0，2，-a)．
设平面AB₁D的法向量为

n2

=(x，y，z)，则有

DA • n2 =3x=0 AB1 • n2 =2y-az=0

，
令z=2，可得平面AB₁D的一个法向量为

n2

=(0，a，2)．  …（10分）
若要使得PC∥平面AB₁D，则要

PC

⊥

n2

，即

PC

•

n2

=a-2=0，解得a=2．…（11分）
所以当a=2时，PC∥平面AB₁D．  …（12分）