Question

如图，在三棱锥A－BOC中，AO⊥平面BOC，AC＝4，AB＝2，BC＝4，∠CAO＝30°，D为AB上的任意一点，且BE⊥OD．

求证：BE⊥平面COD．

Answer 1

答案：
解析：

证明：因为AO⊥平面BOC， 　　所以AO⊥OC，AO⊥OB． 　　在Rt△AOC中，AC＝4，∠CAO＝30°， 　　所以OC＝AC＝2，AO＝AC·cos30°＝2． 　　又在Rt△AOB中，AB＝2， 　　所以OB＝＝2． 　　在△BOC中，BC＝4，OC＝2，OB＝2． 　　所以OC2＋OB2＝BC2， 　　所以OC⊥OB． 　　因为AO⊥OC，且AO∩OB＝O， 　　所以OC⊥平面AOB． 　　又OC平面COD， 　　所以平面COD⊥平面AOB． 　　又平面COD∩平面AOB＝OD，BE⊥OD，BE平面AOB， 　　所以BE⊥平面COD． 　　点评：通过计算来证明空间中的垂直关系，主要用于条件中已知线段和角，或条件中存在线段之间的长度关系，证明时主要是结合勾股定理．本题的证明过程体现了线线、线面、面面垂直关系的转化思想．