Question

（2012•福州模拟）在数列{a_n}中，a₁=

1

2

，点（a_n，a_n+1）（n∈N*）在直线y=x+

1

2

上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记b_n=

1

an×an+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知得an+1-an=

1

2

，根据等差数列的通项公式即可求解
（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn=

1

n 2 • n+1 2

=

4

n(n+1)

，利用裂项可求和

解答：解：（Ⅰ）由已知得an+1=an+

1

2

，即an+1-an=

1

2

．（1分）
∴数列{a_n}是以

1

2

为首项，以d=

1

2

为公差的等差数列．（2分）
∵a_n=a₁+（n-1）d，（3分）
∴an=

1

2

+

1

2

(n-1)=

n

2

（n∈N^*）．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn=

1

n 2 • n+1 2

=

4

n(n+1)

，（7分）
∴bn=4(

1

n

-

1

n+1

)． （9分）
∴Tn=4[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=4(1-

1

n+1

)=

4n

n+1

点评：本题考查等差数列的判断及通项公式的判断，裂项求数列的和的应用．