Question

设函数f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0
（1）求f（x）的单调增区间
（2）对任意的正整数n，证明：ln

e+en

2e

≤

e2n-e2

e2

．

Answer 1

分析：（1）先求导：f/(x)=2x+

b

x+1

=

1

x+1

[2(x+

1

2

)2+(b-

1

2

)]，由二次函数法研究导数大于零，从而得到单调增区间．
（2）当b=-1时，f（x）=x²-ln（x+1），研究函数在（1，+∞）上单调性，可得f（e^n-1）＞f（1），代入化简可得结论．

解答：解：（1）f/(x)=2x+

b

x+1

=

1

x+1

[2(x+

1

2

)2+(b-

1

2

)]，
若 b≥

1

2

，f（x）在定义域区间（-1，+∞）上单调增加；
若 b＜

1

2

，由f′（x）=0解得 x1=

-1- 1-2b

2

，x2=

-1+ 1-2b

2

，
f（x）在（-1，x₁）上单调增加，在（x₂，+∞）上单调增加．
（2）当b=-1时，f（x）=x²-ln（x+1）．当x＞1时，f'（x）＞0
∴f（x）在（1，+∞）上单调递增
∵正整数n∴e^n-1＞1
∴f（e^n-1）＞f（1）即e^2（n-1）-ln（e^n-1+1）≥1-ln（1+1）
∴ln

e+en

2e

≤

e2n-e2

e2

对任意的正整数n恒成立．

点评：本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，（2）是数列不等式，需要关注两点，一是构造函数并运用函数的单调性证明数列不等式，二是根据解题要求选择是否分离变量．