Question

已知α、β为关于x的方程x²-tx-1=0(t∈R)的两个根,且α＞β.函数f(x)= .

(1)求的值;

(2)求函数f(x)的单调区间(结果可用含α、β的区间表示);

(3)对任意的λ＞0,证明f()-f()＜α-β.

Answer 1

(1)解:由题意,α、β为关于x的方程x²-tx-1=0的两个根,则由韦达定理,得α+β=t,αβ=-1.

f(α)==-β,

同理f(β)=-α,=1.

(2)解:f′(x)=,

当β＜x＜α时,f′(x)＞0;

当x＜β或x＞α时,f′(x)＜0.

因此,函数y=f(x)的增区间为(β,α),减区间为(-∞,β),(α,+∞).

(3)证明:∵λ＞0,α＞β,

∴-β=＞0,

α＞0,

∴β＜＜α,

同理β＜＜α.

因此f(β)＜f(),f()＜f(α),

从而f()+f(α)＞f()+f(β),

即f()-f()＜f(α)-f(β).

又f(α)-f(β)=α-β,

∴f()-f()＜α-β.