Question

已知向量a、b、c、d及实数x、y，且|a|=|b|=1,c=a+(x²-3)b.d=-ya+xb,若a⊥b,c⊥d,且|c|≤.

(1)求y关于x的函数关系y=f(x)及定义域；

(2)求函数f(x)的单调区间.

Answer 1

思路分析：∵a⊥b,∴a·b=0,c=a+(x²-3)b,

∴|c|²=c·c=|a|²+2(x²-3)a·b+(x²-3)²|b|²

=x⁴-6x²+10.

∵|c|²≤10,∴x⁴-6x²+10≤10.

∴-≤x≤.又∵c⊥d,∴c·d=0.

∴c·d=-y|a|²+(-yx²+3y+x)a·b+x(x²-3)|b|²=0,

∴-y+x³-3x=0.∴y=f(x)=x³-3x,其定义域为［-，］.

(2)∵y=x³-3x,

∴y′=3x²-3.

令y′=0,得x=±1.

列表如下：

x	［-,-1］	［-1,1］	［1,］
y′	+	-	+
y

∴函数f(x)的单调增区间为［-,-1］、［1,］，单调减区间为［-1,1］.