Question

已知函数?（x）=log₂（1+x）-log₂（1-x），
（1）求函数?（x）的定义域；
（2）判断函数?（x）的奇偶性并证明；
（3）解关于x的不等式?（x）＞log₂3．

Answer 1

分析：（1）由函数的解析式可得

1+x＞0 1-x＞0

，由此求得函数的定义域．
（2）由（1）可得函数的定义域关于原点对称．再根据f（-x）=-f（x），可得函数f（x）是奇函数．
（3）关于x的不等式?（x）＞log₂3，即 log₂

1+x

1-x

＞log₂ ，化简可得（4x-2）（x-1）＜0，由此求得不等式的解集．

解答：解：（1）由函数?（x）=log₂（1+x）-log₂（1-x），可得

1+x＞0 1-x＞0

，-1＜x＜1，故函数的定义域为（-1，1），
（2）由（1）可得函数的定义域关于原点对称．再根据f（-x）=log₂（1-x）-log₂（1+x）=-[log₂（1+x）-log₂（1-x]）=-f（x），
可得函数f（x）是奇函数．
（3）关于x的不等式?（x）＞log₂3，即 log₂

1+x

1-x

＞log₂ ，∴

1+x

1-x

＞3，即

4x-2

x-1

＜0，即 （4x-2）（x-1）＜0．
解得 

1

2

＜x＜1，即不等式的解集为（

1

2

，1）．

点评：本题主要考查函数的定义域的求法，判断函数的奇偶性，解对数不等式，体现了转化的数学思想，属于中档题．