Question

4．已知函数f（x）=cos2x+acosx+2．
（1）若a＞0，且当x∈R时，f（x）的最小值为-1，求实数a的值；
（2）若a=2，且当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，f（x）＞m（cosx+1）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将函数f（x）化简，转化为二次函数问题，即可求解出实数a的值；
（2）f（x）＞m（cosx+1）恒成立，转化为cos2x+acosx-mcosx＞m-2．令cos2x+acosx-mcosx为新函数g（x）求解a=2，且当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时的最小值，即可得实数m的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=cos2x+acosx+2=2cos²x+acosx+1=2（cosx+$\frac{a}{4}$）²+1-$\frac{{a}^{2}}{8}$．
∵a＞0，且当x∈R时，f（x）的最小值为-1，
∴当cosx=-$\frac{a}{4}$时，f（x）_min=1-$\frac{{a}^{2}}{8}$=-1，解得a=4．
（2）由题意，f（x）＞m（cosx+1）恒成立，
即cos2x+acosx-mcosx＞m-2．
令cos2x+acosx-mcosx=g（x）
当a=2时，g（x）=2cos²x-1+2cosx-1-mcosx=2cos²x+（2-m）cosx+1=2（cosx-$\frac{m-2}{4}$）²+1-$\frac{（m-2）^{2}}{8}$
当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，cosx∈[0，1]．
若：0≤$\frac{m-2}{4}$≤1，即：2≤m≤6时，g（x）的最小值为：1-$\frac{（m-2）^{2}}{8}$＞m-2．
可得：$6-2\sqrt{6}$＜m＜6+2$\sqrt{6}$．
∴可得实数m的取值范围是：2≤m≤6．
若：$\frac{m-2}{4}$＜0，即：2＞m时，g（x）的最小值为：2（0-$\frac{m-2}{4}$）²+1-$\frac{（m-2）^{2}}{8}$＞m-2．
可得：m＜3．
∴可得实数m的取值范围是：m＜2．
若：$\frac{m-2}{4}$＞1，即：6＜m时，g（x）的最小值为：2（1-$\frac{m-2}{4}$）²+1-$\frac{（m-2）^{2}}{8}$＞m-2．
可得：m＜$\frac{7}{2}$．
∴m无解
综合可得：实数m的取值范围是：（-∞，6]．

点评 本题考查考查三角函数值、诱导公式、三角函数的周期、单调区间等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．